A Model–Theoretic Approach to Proof Theory

Ce livre présente un traitement détaillé de la combinatoire ordinale de grands ensembles adaptés aux résultats de l'indépendance. Il utilise des méthodes théoriques et combinatoires pour obtenir des résultats en théorie de la preuve, tels que des théorèmes d'incomplétude ou une description des fonctions totales prouvables d'une théorie.

Dans le premier chapitre, les auteurs abordent d'abord la combinatoire ordinale des ensembles finis dans le style de Ketonen et Solovay. Ceci fournit un contexte pour une analyse des sous-systèmes de l'arithmétique de Peano ainsi que pour les résultats de l'indépendance combinatoire. Ensuite, le volume examine une variété de preuves de Gödel's théorèmes incomplet. Les preuves présentées diffèrent fortement par leur nature. Ils montrent divers aspects des phénomènes d'incomplétude. De plus, la couverture introduit quelques méthodes classiques comme le théorème arithmétique de la complétude, les prédicats de satisfaction ou les classes de satisfaction partielle. Le

quatrième chapitre définit la méthode des indicateurs permettant d'obtenir des résultats en matière d'indépendance. Il montre la quantité d'induction transfinie que nous avons dans des fragments d'arithmétique de Peano. Ensuite, il utilise la combinatoire de grands ensembles du premier chapitre pour montrer les résultats de l'indépendance. Le dernier chapitre traite des classes de satisfaction non standard. Il présente quelques-uns des théorèmes classiques qui s'y rapportent. En particulier, il couvre les résultats de S. Smith sur la définissabilité dans la langue avec une classe de satisfaction et sur les modèles sans classe de satisfaction.